Nuestra incógnita acá es la distancia entre los pueblos $X$ y $Z$. El problema es que este no es un triángulo rectángulo, así que no podemos aplicar el Teorema de Pitagoras (como hicimos por ejemplo en el Ejercicio 1.c, cuando también nos faltaba conocer uno de los lados del triángulo)

Para resolver este problema, vamos a usar el Teorema del Coseno, que es útil en cualquier triángulo (no sólo en los rectángulos) y relaciona las longitudes de los tres lados de cualquier triángulo con el coseno de uno de sus ángulos. La fórmula es esta:

$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) $ Donde \(a\) y \(b\) son las longitudes de los lados que encierran el ángulo \(C\), y \(c\) es la longitud del lado opuesto al ángulo \(C\).

Por ejemplo en nuestro caso sería: $ a = 6 \, \text{km} $

$ b = 9 \, \text{km} $

$ C = 120^{\circ} $

y queremos averiguar la distancia entre $X$ y $Z$ que es justamente el lado opuesto al ángulo $C$, o sea, sería lo que llamamos $c$ en la fórmula. Entonces, la distancia entre \(X\) y \(Z\) sale de plantear: $ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) $ $ c^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cos(120^{\circ}) $ Con la calculadora en grados, no te olvides, el coseno de \(120^{\circ}\) nos da \(-\frac{1}{2}\). Así que terminando de hacer la cuenta nos queda...

$ c^2 = 171 $ $ c = \sqrt{171} \approx 13.08 $ Por lo tanto, la distancia entre los pueblos \(X\) y \(Z\) es de aprox. 13.08 kilómetros